قالب آموزشی درس مکانیک کلاسیک

ویژه دانشجویان رشته الکترونیک

فصل اول: سینماتیک خطی (Kinematics)

۱.۱ مفاهیم پایه

تعریف سینماتیک

سینماتیک شاخه‌ای از مکانیک است که حرکت اجسام را بدون توجه به علت آن بررسی می‌کند.

۱.۲ معادلات حرکت یکنواخت

الف) حرکت با سرعت ثابت

$x=x_0+v\cdot t$

ب) حرکت با شتاب ثابت

$$\begin{aligned}
v &= v_0 + a \cdot t \
x &= x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \
v^2 &= v_0^2 + 2a(x - x_0)
\end{aligned}

---

## ۱.۳ مثال‌های حل شده

### مثال ۱: محاسبه سرعت متوسط
> یک اتومبیل در مدت ۱۰ ثانیه از سرعت صفر به سرعت ۲۰ متر بر ثانیه می‌رسد. شتاب متوسط را محاسبه کنید.

**حل:**
$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{20 - 0}{10} = 2 \text{ m/s}^2$$

---

### مثال ۲: استفاده از معادلات شتاب ثابت
> جسمی با سرعت اولیه ۵ m/s و شتاب ثابت ۳ m/s² به مدت ۴ ثانیه حرکت می‌کند. جابجایی کل را محاسبه کنید.

**حل:**
$$x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 5 \times 4 + \frac{1}{2} \times 3 \times 16 = 20 + 24 = 44 \text{ m}$$

---

### مثال ۳: کاربرد در الکترونیک (سنسور شتاب)
> یک سنسور شتاب MEMS در حال اندازه‌گیری شتاب یک ربات است. اگر سنسور شتاب ۹.۸ m/s² را نشان دهد، سرعت ربات پس از ۳ ثانیه چقدر می‌شود؟

**حل:**
$$v = v_0 + at = 0 + 9.8 \times 3 = 29.4 \text{ m/s}$$

---

## ۱.۴ تمرینات پایان فصل

### سطح آسان
۱. جسمی با سرعت ثابت ۱۵ m/s حرکت می‌کند. در مدت ۲۰ ثانیه چقدر جابجایی دارد؟

۲. اتومبیلی در ۵ ثانیه از ۱۰ m/s به ۳۰ m/s می‌رسد. شتاب متوسط را محاسبه کنید.

### سطح متوسط
۳. توپی از ارتفاع ۲۰ متری رها می‌شود. (الف) زمان رسیدن به زمین (ب) سرعت برخورد را محاسبه کنید. (g = ۱۰ m/s²)

۴. جسمی از حال سکون با شتاب ۴ m/s² شروع به حرکت می‌کند. در ثانیه پنجم چقدر مسافت طی می‌کند؟

### سطح سخت
۵. دو اتومبیل A و B از یک نقطه شروع به حرکت می‌کنند. A با شتاب ۲ m/s² و B با سرعت ثابت ۱۵ m/s حرکت می‌کند. پس از چه زمانی A به B می‌رسد؟

۶. یک الکترون با شتاب $10^{14}$ m/s² در میدان الکتریکی حرکت می‌کند. اگر سرعت اولیه صفر باشد، پس از ۱۰ نانوثانیه سرعت آن چقدر است؟

---

## ۱.۵ خلاصه نکات کلیدی

✅ **سینماتیک** = مطالعه حرکت بدون توجه به علت آن

✅ **معادلات اصلی حرکت با شتاب ثابت:**
- $v = v_0 + at$
- $x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$
- $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$

✅ **شتاب گرانش** زمین: $g \approx 9.8$ m/s² (جهت پایین)

✅ **سرعت متوسط** = جابجایی / زمان

✅ **در حرکت یکنواخت:** شتاب = صفر

---

# فصل دوم: حرکت در صفحه (Motion in a Plane)

## ۲.۱ بردارها در حرکت دوبعدی

### مولفه‌های بردار موقعیت

\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}

### سرعت و شتاب در مختصات دکارتی

\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j}

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dv_x}{dt}\hat{i} + \frac{dv_y}{dt}\hat{j}$$

---

## ۲.۲ حرکت پرتابی (Projectile Motion)

### معادلات حرکت پرتابی

**در راستای افقی (x):**
$$x = v_0 \cos\theta \cdot t$$

**در راستای عمودی (y):**
$$y = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$

### پارامترهای مهم

| پارامتر | فرمول |
|---------|--------|
| حداکثر ارتفاع | $H_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$ |
| برد افقی | $R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$ |
| زمان پرواز | $T = \frac{2v_0 \sin\theta}{g}$ |

---

## ۲.۳ مثال‌های حل شده

### مثال ۱: حرکت پرتابی
> توپی با سرعت اولیه ۲۰ m/s و زاویه ۴۵ درجه پرتاب می‌شود. (الف) حداکثر ارتفاع (ب) برد افقی را محاسبه کنید.

**حل:**

الف) حداکثر ارتفاع:
$$H_{max} = \frac{20^2 \times \sin^2(45^\circ)}{2 \times 9.8} = \frac{400 \times 0.5}{19.6} = \frac{200}{19.6} \approx 10.2 \text{ m}$$

ب) برد افقی:
$$R = \frac{20^2 \times \sin(90^\circ)}{9.8} = \frac{400 \times 1}{9.8} \approx 40.8 \text{ m}$$

---

### مثال ۲: حرکت دایره‌ای یکنواخت
> ذره‌ای با سرعت زاویه‌ای $\omega = 5$ rad/s در مسیر دایره‌ای با شعاع ۲ متر حرکت می‌کند. سرعت خطی را محاسبه کنید.

**حل:**
$$v = \omega r = 5 \times 2 = 10 \text{ m/s}$$

---

### مثال ۳: کاربرد در سیستم‌های کنترل
> یک بازوی رباتیک در صفحه xy حرکت می‌کند. موقعیت آن از رابطه $x = 3t^2$ و $y = 4t^2$ داده می‌شود. سرعت در لحظه t = ۲ ثانیه را محاسبه کنید.

**حل:**
$$v_x = \frac{dx}{dt} = 6t = 12 \text{ m/s}$$
$$v_y = \frac{dy}{dt} = 8t = 16 \text{ m/s}$$
$$v = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ m/s}$$

---

## ۲.۴ تمرینات پایان فصل

### سطح آسان
۱. توپی با سرعت ۱۰ m/s به صورت افقی پرتاب می‌شود. پس از ۳ ثانیه موقعیت آن چیست؟

۲. ذره‌ای با سرعت زاویه‌ای ۲ rad/s در دایره‌ای به شعاع ۵ متر حرکت می‌کند. دوره تناوب را محاسبه کنید.

### سطح متوسط
۳. توپی با زاویه ۳۰ درجه و سرعت ۳۰ m/s پرتاب می‌شود. الف) حداکثر ارتفاع ب) زمان پرواز ج) برد افقی را محاسبه کنید.

۴. ماشینی با سرعت ۲۰ m/s از یک بلندی ۴۵ متری خارج می‌شود. الف) زمان رسیدن به زمین ب) فاصله افقی را محاسبه کنید.

### سطح سخت
۵. توپی از ارتفاع h با سرعت افقی v₀ پرتاب می‌شود و در نقطه‌ای به فاصله افقی R می‌افتد. نشان دهید: $R = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$

۶. یک الکترون در میدان مغناطیسی در مسیر دایره‌ای با شعاع ۰.۱ متر و سرعت $10^6$ m/s حرکت می‌کند. شتاب مرکزگرا را محاسبه کنید.

---

## ۲.۵ خلاصه نکات کلیدی

✅ **حرکت پرتابی** = ترکیب حرکت افقی یکنواخت + حرکت عمودی با شتاب ثابت

✅ **زاویه ۴۵ درجه** = بیشترین برد (در absence مقاومت هوا)

✅ **سرعت در حرکت دایره‌ای:**
- خطی: $v = \omega r$
- زاویه‌ای: $\omega = \frac{2\pi}{T}$

✅ **شتاب مرکزگرا:** $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

✅ **در راستای عمودی:** شتاب = g (ثابت)

---

# فصل سوم: دینامیک ذره (Particle Dynamics)

## ۳.۱ قوانین نیوتن

### قانون اول نیوتن (اینرسی)
> هر جسم که در حال سکون یا حرکت یکنواخت خطی است، تا زمانی که نیروی خارجی به آن وارد نشود، به همان حالت باقی می‌ماند.

### قانون دوم نیوتن (اصل اساسی دینامیک)

\vec{F} = m\vec{a}

$$یابهصورتکلی:$$

\vec{F}_{net} = \frac{d\vec{p}}{dt}$$

که در آن $\vec{p}=m\vec{v}$ تکانه است.

قانون سوم نیوتن (کنش و واکنش)

$F_{AB}=-F_{BA}$

۳.۲ انواع نیروها

الف) نیروی گرانشی

$F_g=mg$

ب) نیروی اصطکاک

$f_k={\mu }_{k}N\text{ (ایستایی)}{f}_s\le {\mu }_{s}N$

ج) نیروی کشسانی (قانون هوک)

$F=-kx$

د) نیروی مرکزگرا در حرکت دایره‌ای

$F_c=\frac{m{v}^2}{r}$

۳.۳ مثال‌های حل شده

مثال ۱: استفاده از قانون دوم نیوتن

جسمی به جرم ۵ kg تحت تأثیر نیروی ۳۰ نیوتن قرار دارد. شتاب را محاسبه کنید.

حل:
$a=\frac{F}{m}=\frac{30}{5}=6{\text{ m/s}}^2$

مثال ۲: سیستم دوبلک

دو جرم m₁ = ۲ kg و m₂ = ۳ kg توسط نخی به هم متصل شده‌اند و روی سطح بدون اصطکاک کشیده می‌شوند. اگر نیروی ۲۰ N به سیستم وارد شود، شتاب و نیروی کشش نخ را محاسبه کنید.

حل:

شتاب کل سیستم:
$a=\frac{F}{m_1+m_2}=\frac{20}{5}=4{\text{ m/s}}^2$

نیروی کشش نخ (بین دو جرم):
$T=m_2\times a=3\times 4=12\text{ N}$

مثال ۳: حرکت دایره‌ای و نیروی مرکزگرا

یک اتومبیل به جرم ۱۰۰۰ kg با سرعت ۲۰ m/s در پیچی به شعاع ۵۰ متر حرکت می‌کند. نیروی اصطکاک لازم برای جلوگیری از سر خوردن را محاسبه کنید.

حل:
$F_c=\frac{m{v}^2}{r}=\frac{1000\times 400}{50}=8000\text{ N}$

مثال ۴: کاربرد در الکترونیک (نیروی الکترومغناطیسی)

یک الکترون (m = ۹.۱۱ × ۱۰⁻³¹ kg) در میدان الکتریکی E = ۱۰⁶ N/C قرار دارد. شتاب الکترون را محاسبه کنید. (e = ۱.۶ × ۱۰⁻¹⁹ C)

حل:
$F=qE=(1.6\times 10^{-19})(10^6)=1.6\times 10^{-13}\text{ N}$
$a=\frac{F}{m}=\frac{1.6\times 10^{-13}}{9.11\times 10^{-31}}\approx 1.76\times 10^{17}{\text{ m/s}}^2$

مثال ۵: سطح شیبدار

جسمی به جرم ۱۰ kg روی سطح شیبدار با زاویه ۳۰ درجه قرار دارد. ضریب اصطکاک ۰.۲ است. الف) شتاب ب) نیروی عمودی سطح را محاسبه کنید.

حل:

نیروی موازی سطح: $F_{\parallel }=mg\sin \theta =10\times 9.8\times 0.5=49$ N

نیروی عمودی: $N=mg\cos \theta =10\times 9.8\times 0.866=84.9$ N

نیروی اصطکاک: $f_k={\mu }_{k}N=0.2\times 84.9=16.98$ N

شتاب:
$a=\frac{F_{\parallel }-f_k}{m}=\frac{49-16.98}{10}=3.2{\text{ m/s}}^2$

۳.۴ تمرینات پایان فصل

سطح آسان

۱. نیروی ۵۰ N به جسمی به جرم ۲۵ kg وارد می‌شود. شتاب چقدر است؟

۲. شخصی به جرم ۷۰ kg در آسانسوری ساکن ایستاده است. نیروی عمودی کف آسانسور را محاسبه کنید.

سطح متوسط

۳. دو بلوک روی هم روی سطح بدون اصطکاک قرار دارند. جرم پایینی ۵ kg و بالایی ۲ kg است. ضریب اصطکاک بین آن‌ها ۰.۳ است. حداکثر نیرویی که می‌توان به بلوک پایینی وارد کرد بدون اینکه بلوک بالایی بلغزد چقدر است؟

۴. توپی به جرم ۰.۵ kg از ارتفاع ۲۰ متری رها می‌شود. الف) سرعت هنگام برخورد ب) انرژی جنبشی را محاسبه کنید.

سطح سخت

۵. یک ماهواره در مدار دایره‌ای به ارتفاع ۵۰۰ km از سطح زمین می‌چرخد. شعاع زمین = ۶۴۰۰ km. الف) سرعت ماهواره ب) دوره تناوب را محاسبه کنید.

۶. سیستمی شامل دو جرم m₁ و m₂ است که روی سطح بدون اصطکاک قرار دارند و توسط نخ به جرم m₃ آویزانند. اگر m₁ = m₂ = m₃ = m باشد، شتاب سیستم را محاسبه کنید.

۳.۵ خلاصه نکات کلیدی

✅ قانون دوم نیوتن: $\vec{F}=m\vec{a}$ (اصلی‌ترین معادله دینامیک)

✅ نیروی گرانش: $F_g=mg$ (همیشه به سمت پایین)

✅ اصطکاک ایستایی > جنبشی: ${\mu }_s>{\mu }_k$

✅ نیروی مرکزگرا: برای حرکت دایره‌ای به سمت مرکز

✅ تکانه (مomentum): $\vec{p}=m\vec{v}$ - پایسته در سیستم بدون نیروی خارجی

✅ کار (Work): $W=\vec{F}\cdot \vec{d}=Fd\cos \theta$

✅ انرژی جنبشی: $K=\frac{1}{2}m{v}^2$

📋 جدول خلاصه کلی فصل‌ها

🎯 نکات کاربردی برای دانشجویان الکترونیک

۱. سنسورهای شتاب (Accelerometer): بر اساس قانون دوم نیوتن کار می‌کنند

۲. حرکت الکترون در میدان: $F=qE$ و $a=\frac{qE}{m}$

۳. ** MEMS و سیستم‌های میکرو:** اصول مکانیک کلاسیک در مقیاس نانو

۴. رباتیک: ترکیب سینماتیک و دینامیک برای کنترل حرکت