جلسه 4 آشنایی با تحلیل ماتریسی به روش نرمی

۱. مقدمه و تئوری پایه (تیتر: مبانی روش نرمی)

در روش نرمی (که به روش نیرو یا Force Method نیز معروف است)، مجهولات اصلی مسئله نیروهای داخلی یا عکس‌العمل‌های اضافی هستند.

• ایده اصلی: تبدیل یک سازه نامعین استاتیکی به یک سازه معین (سازه اصلی) با حذف قیود اضافی و جایگزینی آن‌ها با نیروهای مجهول.


• اصل سوپرپوزیشن: تغییرمکان کل در نقطه اثر نیروی مجهول باید برابر با صفر (یا مقدار مشخصی) باشد.


• معادله سازگاری:

$$\delta_{10} + X_1 \cdot \delta_{11} = 0$$

• $\delta_{10}$: تغییرمکان در نقطه مجهول تحت بار خارجی.


• $\delta_{11}$: تغییرمکان در نقطه مجهول تحت اثر نیروی واحد.


• $X_1$: مقدار نیروی مجهول.

۲. مثال کاربردی (تیتر: گام‌به‌گام تا پاسخ)

مثال: یک تیر سراسری دو دهانه با تکیه‌گاه میانی گیردار (یک درجه نامعین).

1. تعیین درجه نامعینی: تشخیص اینکه واکنش تکیه‌گاه میانی را به عنوان مجهول ($X_1$) انتخاب می‌کنیم.


2. سازه اصلی: حذف تکیه‌گاه میانی (تیر ساده دو دهانه).


3. محاسبه $\delta_{10}$: استفاده از روش “کار مجازی” یا “جدول‌های بارگذاری” برای محاسبه تغییرمکان نقطه تکیه‌گاه میانی تحت بارهای خارجی.


4. محاسبه $\delta_{11}$: اعمال یک بار واحد در محل تکیه‌گاه حذف شده و محاسبه تغییرمکان همان نقطه.


5. حل معادله: جایگذاری در معادله سازگاری و یافتن $X_1$.

۳. خلاصه نکات کلیدی (برای یادآوری سریع)

• تفاوت اصلی: در روش نرمی، مجهولات نیرو هستند (در روش سختی، مجهولات تغییرمکان هستند).


• سازه اصلی: باید پایدار و معین باشد.


• ماتریس نرمی ($F$): المان‌های ماتریس $f_{ij}$ نشان‌دهنده تغییرمکان در راستای $i$ به دلیل بار واحد در راستای $j$ است.


• تقارن: ماتریس نرمی همواره متقارن است ($f_{ij} = f_{ji}$) که ناشی از قضیه مکسول-بتی است.

۴. تمرین پایان فصل (برای سنجش یادگیری)

1. تمرین تحلیلی: یک قاب یک طبقه با یک تکیه‌گاه گیردار اضافی را در نظر بگیرید. درجه نامعینی را مشخص کرده و ماتریس نرمی آن را تشکیل دهید.


2. تمرین محاسباتی: برای یک تیر کنسولی که در انتها روی یک فنر با سختی $k$ قرار دارد، نیروی عکس‌العمل فنر را با استفاده از روش نرمی به دست آورید.


3. پرسش مفهومی: چرا در سازه‌هایی با درجه نامعینی بالا، روش نرمی نسبت به روش سختی برای تحلیل دستی دشوارتر است؟ (تأمل در مورد ابعاد ماتریس‌ها).