فصل: مقایسه میانگین‌ها و طرح‌های پایه

1) عنوان

فصل ۴: مقایسه میانگین‌ها و کاربرد آزمون‌های چند دامنه‌ای

2) مقدمهٔ آموزشی

پس از اجرای آزمایش و تحلیل واریانس (ANOVA)، معمولاً به دنبال تعیین این موضوع هستیم که کدام تیمارها با یکدیگر تفاوت معنی‌داری دارند. ANOVA تنها نشان می‌دهد که حداقل یک میانگین با سایر میانگین‌ها تفاوت دارد، اما مشخص نمی‌کند کدام‌یک.

برای پاسخ به این پرسش، از آزمون‌های مقایسه میانگین‌ها (Multiple Comparison Tests) استفاده می‌کنیم. این آزمون‌ها انواع مختلفی دارند که بسته به شرایط آزمایش و اهداف پژوهش، انتخاب می‌شوند.

3) پیش‌نیازها

• تسلط بر مفاهیم طرح کاملاً تصادفی (CRD) و طرح بلوک‌های کامل تصادفی (RCBD).
• آشنایی با تحلیل واریانس (ANOVA) و جداول مربوطه.
• درک مفهوم سطح معنی‌داری (α) و آزمون فرض آماری.

4) مقایسه با استفاده از داده‌های CRD و RCBD

هنگامی که نتایج ANOVA برای طرح‌های CRD یا RCBD معنی‌دار باشد (P-value < α)، به سراغ مقایسه‌های چندگانه می‌رویم.

الف) مقایسه با طرح کاملاً تصادفی (CRD)

• هدف: تعیین اینکه کدام‌یک از میانگین تیمارهای در طرح CRD با یکدیگر تفاوت معنی‌دار دارند.
• مراحل:

1. انجام ANOVA برای طرح CRD.
2. در صورت معنی‌دار بودن F-test کلی، از آزمون‌های مقایسه میانگین استفاده کنید.

• نرمال بودن توزیع باقی‌مانده‌ها و همگنی واریانس‌ها از مفروضات مهم در اینجا است.

ب) مقایسه با طرح بلوک‌های کامل تصادفی (RCBD)

• هدف: تعیین اینکه کدام‌یک از میانگین تیمارها، با حذف اثر بلوک، تفاوت معنی‌دار دارند.
• مراحل:

1. انجام ANOVA برای طرح RCBD.
2. در صورت معنی‌دار بودن F-test تیمار، از آزمون‌های مقایسه میانگین استفاده کنید.

• در اینجا، دقت آزمایش به دلیل حذف اثر بلوک بالاتر رفته و حساسیت آزمون‌های مقایسه میانگین بیشتر می‌شود.

5) آزمون‌های مقایسه میانگین‌ها (آزمون‌های چند دامنه‌ای)

این آزمون‌ها به دو دسته کلی تقسیم می‌شوند:

الف) آزمون‌هایی که سطح خطای کلی (Family-wise Error Rate) را کنترل می‌کنند (محافظه‌کارتر).

ب) آزمون‌هایی که سطح خطای کاذب (False Discovery Rate) را کنترل می‌کنند (کمتر محافظه‌کار).

در اینجا بر دو نوع متداول که سطح خطای کلی را کنترل می‌کنند تمرکز می‌کنیم: LSD و Tukey HSD.

الف) آزمون LSD (Least Significant Difference)

• کاربرد: زمانی که تنها چند تیمار (معمولاً کمتر از ۵ یا ۶ تیمار) داریم و می‌خواهیم مقایسه‌های جفتی انجام دهیم.
• نحوه محاسبه:

1. ابتدا ANOVA انجام می‌شود. اگر F-test کلی معنی‌دار باشد، به سراغ LSD می‌رویم.
2. مقدار LSD با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$LSD = t_{\alpha/2, df_{error}} \times \sqrt{MSE \times (\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j})}$$